Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在上的值域；

（2）试求的零点个数，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点．

【解析】试题分析：（1）当时， ，则，而在上恒成立，所以在上递减，由，可得

当时， ， 递增；当时， 递减；所以，比较的大小可得，进而可得结果；

（2）原方程等价于实根的个数，原命题也等价于在上的零点个数，讨论， ， ，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.

试题解析：（1）当时， ，则，

而在上恒成立，所以在上递减，

， ，

所以在上存在唯一的，使得，而且

当时， ， 递增；当时， 递减；

所以，当时， 取极大值，也是最大值，即，

，

所以， 在上的值域为.

（2）令，得， 显然不是方程的根，

那么原方程等价于实根的个数，令，

原命题也等价于在上的零点个数；

又因为，所以在和上都是单调递增的；

（I）若，则

当时， 恒成立，则没有零点；

当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。

（II）若，则

当时， 恒成立，则没有零点；

当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点

（III）若，则

当时，由 ，则，

则取，则，又，所以在有唯一的零点，

当时， ，

，又在上单调递增的，所以有唯一的零点

综上所述，当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点．