Question

【题目】已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.

（1）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围；

（2）设，证明: 在上的最小值为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】试题分析：（1）函数的图象与轴相切可得。所以， ，对分类讨论可得①当时， 无极值；②当时， 在处取得极小值；③当时， 在上无极小值。综上得当当时， 在上有极小值，解得。（2），所以 ，令，则，分析可得，故在上递增，因此，所以当时， 单调递减；当时， 单调递增。故为定值。

试题解析：

（1）解：∵，

∴令得，

由题意可得，∴ .

∴，

∴，

①当，即时， 无极值.

②当，即时，

令得；

令得或，

∴ 当时， 有极小值.

③当，即时， 在上无极小值。

综上可得当时， 在上有极小值，且极小值为，

即.

∵，

∴，

解得 ，

又，

∴。

∴ 实数的取值范围为。

（2）证明：由条件得，

，

设，

则，

∵，∴ ，

又，

∴，

∴，

∴在上递增，

∴.

由得；由得.

∴当时， 单调递减；当时， 单调递增。

∴ 当时， 有极小值，也为最小值，且为定值.