Question

【题目】已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.

（1）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围；

（2）设（），证明： 在上的最小值为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：(1)由图像与x轴相切，可知，可求得,又x>0,所以f(1)=0.可求得a=2.所以， ，要有极小值所以，所以在处取得极小值，即且要满足极值点在定义域（-3，2）上，即-3<<2,由以上不等式组，可解得m范围。

（2）由题得可知： ，（ ， ）

.只需考虑部分的正负性，所以设， ， ，所在上递增，即，所以函数（0，1）递减，在递增，所以。

试题解析;（1）∵，∴令得，由题意可得，∴.

， ，

当，即， 无极值.当，即时，令得；

令得或，∴在处取得极小值.

当，即时， 在上无极小值，

故当时， 在上有极小值，

且极小值为，即.

∵，∴，∴.

又∵，∴.

（2）证明： ， ，

.

设， ，

∵，∴，又，∴，∴，∴在上递增，

∴.

令得；令得，∴为定值.