Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，在数列{b_n}中，b₁=2，且b_n=2b_n-1-1，（n≥2）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设Tn=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+

a3

b3-1

+…+

an

bn-1

，证明对?n∈N^*，T_n＜6都成立．

Answer 1

分析：（1）由等差数列通项公式，求得首项和公差即可；求数列{b_n}时，构造等比数列求解．
（2）由（1）表示出T_n观察其结构，是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求解．

解答：解：（1）由a₁=1，a₅=a₁+4d=9，
得d=2
∴由等差数列通项公式得：a_n=2n-1
由b_n=2b_n-1-1可变形为：b_n-1=2（b_n-1-1）
∴{b_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列
∴b_n=2^n-1+1．
（2）由（1）可知Tn=1+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n-1

两边同乘以

1

2

得：

1

2

Tn=

1

2

+

3

23

+

5

24

+

7

25

+…+

2n-1

2n

两式相减整理得：Tn=6-

2n+3

2n-1

＜6，从而得证．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，构造等比数列，用错位相减法求数列前n项和问题．