Question

【题目】已知函数

（1）若为曲线的一条切线，求a的值；

（2）已知，若存在唯一的整数，使得，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题（1）先求出，设出切点，利用切线方程求得，进而求得的值；（2）问题转化为存在唯一的整数，使的最小值小于零，利用导数求其极值，数形结合可得 ，且，即可得的取值范围．

试题解析：

（1）函数的定义域为，，

设切点，则切线的斜率，

所以切线为，

因为恒过点，斜率为，且为的一条切线，

所以，

所以或，所以或．

（2）令，，

，

当时，∵，，∴，

又，∴，∴在上递增，

∴ ，又，

则存在唯一的整数使得，即；

当时，为满足题意，在上不存在整数使，

即在上不存在整数使，

∵，∴．

①当时，，

∴在上递减，

∴当时，，

∴，∴；

②当时，，不符合题意．

综上所述，．