Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点，点M（

p

2

，p）；
（1）设过F且斜率为1的直线L交抛物线C于A、B两点，且|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）过点M作斜率互为相反数的两条直线，分别交抛物线C于除M之外的D、E两点．求证：直线DE的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理，结合抛物线的定义，即可求抛物线的方程；
（2）设出直线方程代入抛物线方程，求出D，E的坐标，即可证得结论．

解答：（1）解：抛物线焦点为（

p

2

，0），且斜率为1，则直线方程为y=x-

p

2

，
代入抛物线方程y²=2px得x²-3px+

p2

4

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p
根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=4p=8，∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：由（1）知M（1，2），设MD：x=my+1-2m，则ME：x=-my+1+2m
MD：x=my+1-2m，代入y²=4x，可得y²-4my-4+8m=0，∴y=2或y=4m-2，∴D（4m²-4m+1，4m-2）
同理E（4m²+4m+1，-4m-2）
∴直线DE的斜率为

4m-2+4m+2

4m2-4m+1-(4m2+4m+1)

=-1

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．