Question

如图，A₁、A₂为圆x²+y²=1与x轴的两个交点，P₁P₂为垂直于x轴的弦，且A₁P₁与A₂P₂的交点为M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线E，若过点A（0，1）的直线l与曲线E交于y轴右边不同两点C、B，且

AC

=2

AB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）直线A₁P₁：y=

yp

xp+1

•(x+1)，直线A₂P₂：y=

1-xp

x-1

，由M是A₁P₁和A₂P₂的交点，求得xm=

1

xp

，xp=

1

xm

，而yp=

1-xp2

=

xm2-1

xm

，由此能够导出M点轨迹方程．
（2）设直线l方程为y=kx+1，x²-（kx+1）²=1，xc=

-k+ 2-k2

k2-1

，xb=

-k- 2-k2

k2-1

，由

AC

=2

AB

，得k2=

9

5

，从而得到直线l方程．

解答：解：（1）直线A₁P₁：y=

yp

xp+1

•(x+1)，直线A₂P₂：y=

1-xp

x-1

，
∵M是A₁P₁和A₂P₂的交点，所以

yp

xp+1

•(xm+1)=

yp

1-xp

 •(xm-1)，
求得xm=

1

xp

，xp=

1

xm

，
而yp=

1-xp2

=

xm2-1

xm

，
所以M点轨迹方程是x²-y²=1．
（2）设直线l方程为y=kx+1，
∴x²-（kx+1）²=1，
xc=

-k+ 2-k2

k2-1

，
xb=

-k- 2-k2

k2-1

，
∵

AC

=2

AB

，，所以x_c=2x_b，
将上面式子代入，解得k2=

9

5

，
因为直线l与曲线E交于y轴“右边”不同两点C，B，
所以k=-

3

5

（正值舍去）
直线l方程为y=-

3

5

x+1．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．