Question

【题目】设λ是正实数，（1+λx）20的二项展开式为a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20 ，…，均为常数

（1）若a3＝12a2，求λ的值；

（2）若a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）λ＝2 （2）

【解析】

（1）根据通项公式可得Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2即可；

（2）假设第r+1项系数最大，根据题意列式，化简得，再根据a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，得到，解不等式组即可得到答案.

（1）通项公式为Tr+1＝，r＝0，1，2，…，20，

∴由a3＝12a2得，Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2．

（2）假设第r+1项系数最大，因为λ是正实数，依题意得，

解得，变形得，

因为a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，

∴∴，解得．