Question

【题目】如图，已知椭圆：的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线：交椭圆于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：点在直线上；

（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）存在，且

【解析】

（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点的坐标，将坐标代入直线的方程，满足方程，由此证得点在直线上.（3）由（2）知到的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到是的中点，设出点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点的坐标，并由此求得的值.

解：(1) 解：由，解得，

所以所求椭圆的标准方程为

（2）设，，，

，消得，，

解得

将代入到中，满足方程

所以点在直线上.

（3）由（2）知到的距离相等，

若的面积是面积的3倍，得，

有，

∴是的中点，

设，则，

联立，解得，

于是

解得，所以.