Question

如图，把正三角形ABC分成有限个全等小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，……，BC为第n行，记点A上的数为₁₁，…，第行中第个数为．若=1,=，=．

(1)求₃₁，₃₂，₃₃；

(2)试归纳出第n行中第m个数的表达式(用含，的式子表示，不必证明)；

(3)记,证明：．

Answer 1

解：(1)∵₁₁₃₂=_2l22，∴₃₂=．

∵₂₂₃₁=₂₁₃₂,．∴_3l=．

  　∵₂₁₃₃=₂₂₃₂,∴₃₃=．

  　∴₃₁=,₃₂=, ₃₃＝．

 　(2)由₁₁=1，₂₁=，₃₁=，

可归纳出₁₁，₂₁，₃₁，…，_n1是公比为的等比数列，

故_n1=

由₂₁=，₂₂=,₂₃=,₃₁=,₃₂=，

₃₃=．可归纳出_n1，_n2，_n3，…，_nm是公比为的等比数列，

故_nm =?，即

    (3)由(2)知

                =．

    ∵，∴

    ∴[1－]=

    又∵[1－]

      =4[1－]

      ≤[()ⁿ+1－]²=1

    ∴1≤≤4^n-1

∴≤++…+≤．