Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．

Answer 1

分析：（1）先得到F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2），由于不是基本函数，所以用导数法证明其单调性．
（2）本题即证明不等式即为lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

成立，由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，可知F（x）＞0即（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，变形可得lnx＞

2x-2

x2+1

，令x=

b

a

构造不等式即可．

解答：解：（1）∵F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2），（1分）
∴F′(x)=2xlnx+(x2+1)•

1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

，（3分）
∴x＞1时F'（x）＞0，x=1时F'（x）=0；
∴函数F（x）在[1，+∞）上为增函数．（5分）
（2）由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴lnx＞

2x-2

x2+1

（﹡）（9分）
令x=

b

a

，
∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1，（11分）
∴由（﹡）式得ln

b

a

＞

2• b a -2

( b a )2+1

，
即为lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

；（13分）
∵函数f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域为[lna，lnb]，
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度为lnb-lna，（15分）
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

．（16分）

点评：本题主要考查函数的单调性的证明及应用，同时，还考查了构造和转化思想，属于难题．