Question

【题目】定义在区间[﹣ ， ]上的函数f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ时取得最小值，则sinθ= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：函数f（x）=1+sinxcos2x，
化简得：f（x）=1+sinx（1﹣2sin2x）=sinx﹣2sin3x+1．
令sinx=t，x∈[﹣ ， ]sinx∈[ ， ]，
则f（x）=sinx﹣2sin3x+1转化为g（t）=t﹣2t3+1， ≤t ．
那么：g′（t）=1﹣6t2 ．
令g′（t）=0，
解得：t= 或t=
由导函数的性质可知：g（t）在（﹣ ， ）是单调递减，在（ ， ）是单调递增，
故而当t= 时，g（t）取得最小值，即f（x）取得最小值；
∵sinx=t，即sinx= ．
所以得在x=θ时取得最小值，则sinθ= ．
所以答案是： ．
【考点精析】关于本题考查的三角函数的最值，需要了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能得出正确答案．