Question

【题目】已知函数，．

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）在在（1）的条件下，判断函数与函数的图像公共点个数，并说明理由；

（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)答案见解析；(3).

【解析】分析：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，结合等式成立的条件整理计算可得.

（2）由（1）知，则，函数的定义域，原问题等价于在定义域上的解的个数.结合函数的单调性和函数零点存在定理可知函数与函数的图象有2个公共点.

（3）原问题等价于在上恒成立，利用换元法，令，则在恒成立.令，.结合二次函数的性质分类讨论可得的取值范围是.

详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，

即，

∴，

显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.

上面等式左右两边同时乘以得：

，

化简得:，

上式对定义域内任意恒成立，所以必有，

解得.

（2）由（1）知，所以，即，

由得或，

所以函数定义域，

由题意，要求方程解的个数，即求方程：

在定义域上的解的个数.

令，显然在区间和均单调递增，

又，，

且，，

所以函数在区间和上各有一个零点，

即方程在定义域上有2个解，

所以函数与函数的图象有2个公共点.

（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，

必须使在上恒成立，

令，则，上式整理得在恒成立.

令，.

① 当，即时，在上单调递增，

所以，恒成立；

②当，即时，在上单调递减，

只需，解得与矛盾；

③当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以由，解得，

又，所以.

综合①②③得的取值范围是.