Question

已知函数：
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.

Answer 1

(1) ;(2)存在，见解析.

解析试题分析：(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减，要使函数在存在零点，则需满足，解得； (2)当时，的值域为，由，得合题意；当时，的值域为，由，得不合题意；当时，的值域为，用上面的方法得或合题意.
试题解析：⑴ ∵二次函数的对称轴是
∴函数在区间上单调递减
∴要函数在区间上存在零点须满足 
即  
解得  ，所以.
⑵ 当时，即时，的值域为：，即  
∴
∴  ∴ 
经检验不合题意，舍去。
当时，即时，的值域为：，即 
∴, ∴
经检验不合题意，舍去。
当时，的值域为：，即 
∴
∴  ∴或
经检验或或满足题意。
所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.
考点：零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.