Question

【题目】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上，，，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆交于，两点，点，若，求斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据直线与圆相切，即可求得；在中，由余弦定理，结合，即可求得，故椭圆方程可解；

（2）联立直线方程和椭圆方程，根据求得不等关系式；由，可得中点与构成的直线与垂直，据此求得的等量关系，结合两者的不等关系，即可求得的取值范围.

（1）依题意有，∴

由及椭圆的定义得.

由余弦定理得

即，

又，解得，.

故椭圆的方程为.

（2）联立可得，，则

，

即，①

又，

设的中点，

则，

∵，∴，

，

解得

代入①可得，

整理可得，

所求斜率的取值范围为.