【题目】已知动圆恒过点
,且与直线
相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)设是轨迹
上横坐标为2的点,
的平行线
交轨迹
于
,
两点,交轨迹
在
处的切线于点
,问:是否存在实常数
使
,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)根据抛物线的定义,容易知其轨迹为抛物线;结合已知点的坐标,即可求得方程;
(2)由抛物线方程求得点的坐标,设出直线
的方程,利用导数求得点
的坐标,联立直线
的方程和抛物线方程,结合韦达定理,求得
,进而求得
与
之间的大小关系,即可求得参数
.
(1)由题意得,点与点
的距离始终等于点
到直线
的距离,
由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点
为焦点,直线
为准线的抛物线,
则,
.∴圆心
的轨迹方程为
.
(2)因为是轨迹
上横坐标为2的点,
由(1)不妨取,所以直线
的斜率为1.
因为,所以设直线
的方程为
,
.
由,得
,则
在点
处的切线斜率为2,
所以在点
处的切线方程为
.
由得
所以
,
所以.
由消去
得
,
由,得
且
.
设,
,
则,
.
因为点,
,
在直线
上,
所以,
,
所以
,
所以.
∴
故存在,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着现代社会的发展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,若至少有2套系统监测出排放超标,则立即检查污染源处理系统;若有且只有1套系统监测出排放超标,则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为,且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;
(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由.
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【题目】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是( )
A. 从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;
B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;
C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ;
D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型
,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左、右焦点分别为
,
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切,点
在椭圆
上,
,
,
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:
与椭圆交于
,
两点,点
,若
,求斜率
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点,且满足>1,求实数a的取值范围;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥成立,求实数a的最大值.
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【题目】在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:
序号 | 选科情况 | 序号 | 选科情况 | 序号 | 选科情况 | 序号 | 选科情况 |
1 | 134 | 11 | 236 | 21 | 156 | 31 | 235 |
2 | 235 | 12 | 234 | 22 | 235 | 32 | 236 |
3 | 235 | 13 | 145 | 23 | 245 | 33 | 235 |
4 | 145 | 14 | 135 | 24 | 235 | 34 | 135 |
5 | 156 | 15 | 236 | 25 | 256 | 35 | 156 |
6 | 245 | 16 | 236 | 26 | 156 | 36 | 236 |
7 | 256 | 17 | 156 | 27 | 134 | 37 | 156 |
8 | 235 | 18 | 236 | 28 | 235 | 38 | 134 |
9 | 235 | 19 | 145 | 29 | 246 | 39 | 235 |
10 | 236 | 20 | 235 | 30 | 156 | 40 | 245 |
(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?
(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(3)某高校在其热门人文专业
的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备
高校
专业报名资格的人数为
,用样本的频率估计概率,求
的分布列与期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设三棱锥的每个顶点都在球
的球面上,
是面积为
的等边三角形,
,
,且平面
平面
.
(1)确定的位置(需要说明理由),并证明:平面
平面
.
(2)与侧面平行的平面
与棱
,
,
分别交于
,
,
,求四面体
的体积的最大值.
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