Question

【题目】已知函数．

（1）当时，证明函数在是单调函数；

（2）当时，函数在区间上的最小值是，求的值；

（3）设，是函数图象上任意不同的两点，记线段的中点的横坐标是，证明直线的斜率 ．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)首先求解导函数，由可得函数在是单增函数；

(2)利用函数的单调性结合题意得到关于实数a的方程，解方程可得．

(3)首先求得斜率的表达式，然后结合表达式设 ，构造新函数，结合函数的特征即可证得结论.

试题解析：

（1）解：．

因为，，所以．∴函数在是单增函数；

（2）解：在上，分如下情况讨论：

1．当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；

2．当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；

3．当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，

∴函数的最小值为，得．

（3）证明：当时，,．

又,不妨设，

要比较与的大小，即比较与的大小，又因为，

所以即比较与的大小．

令，则∴在上是增函数．

又，∴，，即．