Question

【题目】已知函数

（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）实数是存在的，且.

【解析】

试题分析：（1）原题等价于在时恒成立，即恒成立，分离参数得，只需求得函数在区间值域即可；

（2）利用反证法假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，利用导函数求得函数的最小值，最后令最小值等于1，可求出参数的范围.

试题解析：（1）

由已知在时恒成立，即恒成立

分离参数得，

因为

所以

所以正实数的取值范围为：

（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号

故，即

从而这样的实数必须为正实数，当时，由上面的讨论知在上递增，，此时不合题意，故这样的必须满足，此时：

令得的增区间为

令得的减区间为

故

整理得

即，设，

则上式即为，构造，则等价于

由于为增函数，为减函数，故为增函数

观察知，故等价于，与之对应的

综上符合条件的实数是存在的，且