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若a.b.c是不全相等的正数,求证:lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
>lg a+lg b+lg c
分析:先根据基本不等式可得
a+b
2
ab
>0
b+c
2
bc
>0
a+c
2
ac
>0
,然后根据不等式的性质可得
a+b
2
b+c
2
a+c
2
>abc成立,两边同取常用对数,即可证得结论.
解答:证明:∵a,b,c∈R+
a+b
2
ab
>0
b+c
2
bc
>0
a+c
2
ac
>0
…(4分)
又上述三个等式中等号不能同时成立
a+b
2
b+c
2
a+c
2
>abc成立.…(6分)
lg(
a+b
2
b+c
2
a+c
2
)>lgabc
lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
>lg a+lg b+lg c
.…(12分)
点评:本题主要考查了对数函数性质的综合应用,以及基本不等式的应用,同时考查了转化的数学思想,属于中档题.
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若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.

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若a、b、c是不全相等的正数,给出下列判断
①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;
②a>b与a<b及a=b中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.
其中判断正确的个数是(  )

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在横线上填写恰当的符号(>,<,≥,≤).

abc是不全相等的正数,那么(a+b)(b+c)(c+a)_________8abca+b+c_________.

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