Question

13．设极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴是x轴的正半轴，取相同的单位长度，已知直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，且α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z），圆C的极坐标方程为p=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且圆C与直线l不相交．
（I）求直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=-\frac{2}{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$ （a为参数），点P在曲线C₁上．求点P到直线1距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线和圆C的直角坐标方程，联立方程组，圆C与直线l不相交，能求出直线l的普通方程．
（Ⅱ）曲线C₁消去参数得曲线C₁的普通方程为${y}^{2}=\frac{4}{x}$，y＜0．设P（x₀，-$\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}$），由此利用点P到直线距离公式能求出点P到直线1距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，且α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z），
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{tsinα}{tcosα}$=tanα，设k=tanα，∴y=kx．
∵圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-2x+2y=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y=0}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（2k-2）x=0，
∵圆C与直线l不相交，∴△=（2k-2）²≤0，解得k=1，
∴直线l的普通方程为y=x．
（Ⅱ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=-\frac{2}{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$ （a为参数），
∴消去参数得曲线C₁的普通方程为${y}^{2}=\frac{4}{x}$，y＜0．
∵点P在曲线C₁上，∴设P（x₀，-$\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}$），
∴点P到直线l：x-y=0距离d=$\frac{|{x}_{0}+\frac{2}{\sqrt{{x}_{0}}}|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$3\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}•\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当${x}_{0}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}$，即x₀=1时，点P到直线1距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，取得最小值时点P的坐标（1，-2）．

点评 此题主要考查直线参数方程化一般方程，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．