Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1(a、b∈R,b≥-2)在区间［-,］单调递减,设g(x)=-3f(x)+mx²-6x(m∈R).

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)若x∈R⁺时,g′(x)≤恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=x²+ax+b,∵f(x)在［-,］递减,∴x∈［-,］时f′(x)≤0恒成立,

f′()=2+a+b≤0,①f′(-)=2-a+b≤0,②

①+②得4+2b≤0,∴b≤-2.又∵b≥-2,∴b=-2.∴f′(x)=x²+ax-2.

若≤0,即a≥0时,则f′()=2+a-2≤0,即a≤0,∴a=0.

若＞0,即a＜0时,则f′(-)=2-a-2≤0,即a≥0与a＜0矛盾,∴舍去.综上a=0.

∴f(x)=x³-2x+1.

(2)g(x)=-3(x³-2x+1)+mx²-6x=-x³+mx²-3,∴g′(x)=-3x²+2mx≤(x∈R)在x∈R⁺时恒成立.

∴2mx≤3x²+.∵x＞0,∴m≤(3x+)在x∈R⁺时恒成立.

x＞0时,3x+≥2,即3x+的最小值为2.∴m≤·2,即m≤1.