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直线l：y=k（x-1）过已知椭圆 $数学公式$ 经过点（0， $数学公式$ ），离心率为 $数学公式$ ，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且 $数学公式$ ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

解：（Ⅰ）由题设知 $\text{[math]}$ ，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，∴椭圆C的方程 $\text{[math]}$ （3分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 $\text{[math]}$ 得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴ $\text{[math]}$ （6分）
又由 $\text{[math]}$ ，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴ $\text{[math]}$ ，同理∴ $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$
所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值 $\text{[math]}$ ；（10分）
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点 $\text{[math]}$
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$ （11分）
证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点 $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∴点 $\text{[math]}$ 在直线l_AE上，同理可证，点 $\text{[math]}$ 也在直线l_BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）由题设知 $\text{[math]}$ ，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点 $\text{[math]}$ 猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$ ．
证明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点 $\text{[math]}$ 再证点 $\text{[math]}$ 也在直线l_BD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．

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