Question

【题目】在四棱锥中，平面，是正三角形，，.

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（2）点为线段上的一动点，设异面直线与直线所成角的大小为，当时，试确定点的位置.

Answer 1

【答案】（1）（2）的位置可以是，也可以是.

【解析】

（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角；

（2）由点为线段上的一动点，可设，，利用空间向量法表示出异面直线与直线所成的角的余弦值，从而求出的值，即可确定的位置.

解：（1）取的中点为，在平面内作，交于点.

因为是正三角形，

所以.

又因为平面，平面，

所以.

又因为，

平面，

由平面，，

所以直线平面.

如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，.

设平面的法向量，

所以，，

即，

取，则，

同理得平面的法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则.

又因为，

所以.

所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.

（2）由点为线段上的一动点，可设，，

所以，.

由异面直线与直线所成角的大小为，

得，

所以，解得或.

所以的位置可以是，也可以是.