【题目】Fibonacci数列又称黄金分割数列,因为当n趋向于无穷大时,其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数.已知Fibonacci数列的递推关系式为.
(1)证明:Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列;
(2)Fibonacci数列{an}的偶数项依次构成一个新数列,记为{bn},证明:{bn+1-H2·bn}为等比数列.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)利用反证法,假设存在,,三项成等比数列,则,进而由已知关系证得是无理数,这与其递推公式中反应的为有理数矛盾,得证;
(2)由题表示,进而由已知的递推关系表示出的递推公式,再构造等比数列,进而由一一对应关系计算出对应参量,最后由等比数列定义得证.
(1)证明:(反证法)假设存在,,三项成等比数列,则,
所以,所以,解得,
由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0,所以,
又Fibonacci数列的所有项均为整数(由递推公式),所以应该为有理数,
这与(无理数)矛盾(其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数,而不是恰好相等),
所以假设不成立,故原命题成立.
(2)证明:由条件得,,
所以,
即,
设,则或
所以或
所以,所以为等比数列,公比为.
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【题目】已知函数的最小正周期为4,其图象关于直线对称,给出下面四个结论:
①函数在区间上先增后减;②将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称;③点是函数图象的一个对称中心;④函数在上的最大值为1.其中正确的是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点,的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.
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【题目】比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是( )
A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.甲的六维能力指标值整体水平优于乙的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,的周长为8,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上两动点,线段的中点为,的斜率分别为(为坐标原点),且,求的取值范围.
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【题目】已知直线l:mx﹣y=1,若直线l与直线x+m(m﹣1)y=2垂直,则m的值为_____,动直线l:mx﹣y=1被圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为_____.
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为,,椭圆的长轴长与焦距之比为,过的直线与交于,两点.
(1)当的斜率为时,求的面积;
(2)当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时,求直线的方程.
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【题目】已知圆C经过点A(﹣1,3),B(3,3)两点,且圆心C在直线x﹣y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过圆上一点A(﹣1,3)的切线方程.
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