Question

【题目】已知.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，且，证明：。

Answer 1

【答案】（1）的取值范围是；（2）见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导，求出函数的单调性，可知函数的最小值，要想在恒成立，只需函数的最小值不小于零即可，解不等式，求出的取值范围。

（2）通过（1）所知，函数的单调区间，由已知，可以得到两个变量的关系，不失一般性，设可以得出，要证，即，则只需证，因为，则只需证，构造函数，对它求导，判断单调性，只要证明出，即可证明。

（1），

当时，单调递减；

当时，单调递增；

当时，取最小值。

令，解得，故的取值范围是。

(2)由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

不失一般性，设，则，

要证，即，则只需证，

因为，则只需证，

设。

则

所以在上单调递减，从而

又由题意得

于是，即

因此.