Question

设x₁、x₂是区间D上的任意两点，若函数y=f(x)满足f(成立,则称函数y=f(x)在区间D上下凸.

(1)证明函数f(x)=x+在区间(0,+∞)上下凸.

(2)若函数y=f(x)在区间D上下凸,则对任意的x₁,x₂,…,x_n∈D 有.试根据下凸倒数的这一性质,证明若x₁,x₂,…,x_n∈(0,+∞),则(x₁+x₂+…+x_n)≥n².

(文)已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和,且a₃,a₉,a₆成等差数列,问:S₃,S₉,S₆是否成等差数列?

Answer 1

答案：(理)证明:(1)设x₁＞0,x₂＞0,则f()-［f(x₁)+f(x₂)］

=

===≤0,

∴f()≤［f(x₁)+f(x₂)］.由定义可知f(x)=x+在区间(0,+∞)上下凸.

(2)由(1)可知f(x)=x+在(0,+∞)上下凸,

根据性质,有

∴.

∵x₁,x₂,…,x_n∈(0,+∞),∴x₁+x₂+…+x_n＞0.

上述可化为(x₁+x₂+…+x_n)≥n².

(文)解：由a₃,a₉,a₆成等差数列，可得a₃+a₆=2a₉,即a₁q²+a₁q⁵=2a₁q⁸.

∵a₁q²≠0,∴1+q³=2q⁶.

当q≠1时，S₃+S₆==2S₉,

∴S₃,S₉,S₆成等差数列.

当q=1时，S₃+S₆=3a₁+6a₁=9a₁,而2S₉=18a₁.

∵a₁≠0,∴S₃+S₆≠2S₉.∴S₃,S₉,S₆不成等差数列.

综合,得当q≠1时，S₃,S₉,S₆成等差数列，当q=1时，S₃,S₉,S₆不成等差数列.