Question

若函数f（x）对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x²-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）若数列{x_n}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤

1

(2n+1)2

，设y_n=sinx_n，求证：|yn+1-y1|＜

1

4

．

Answer 1

（1）g（x）=sinx是R上的“平缓函数，但h（x）=x²-x不是区间R的“平缓函数”；
设φ（x）=x-sinx，则φ'（x）=1-cosx≥0，则φ（x）=x-sinx是实数集R上的增函数，
不妨设x₁＜x₂，则φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
则sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，①
又y=x+sinx也是R上的增函数，则x₁+sinx₁＜x₂+sinx₂，
即sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，②
由  ①、②得-（x₂-x₁）＜sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁
因此|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|，对x₁＜x₂的实数都成立，
当x₁＞x₂时，同理有|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|成立
又当x₁=x₂时，不等式|sinx₂-sinx₁|=|x₂-x₁|=0，
故 对任意的实数x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平缓函数．
由于|h（x₁）-h（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|
取x₁=3，x₂=1，则|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，h（x）=x²-x不是区间R的“平缓函数”．
（2）由（1）得：sinx是R上的“平缓函数，则|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，所以|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，
而|xn+1-xn|≤

1

(2n+1)2

，
所以 |yn+1-yn|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
而|y_n+1-y₁|=|（y_n+1-y_n）+（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…（y₂-y₁）|
所以|y_n+1-y₁|≤|y_n+1-y_n|+|y_n-1-y_n-2|+…+|y₂-y₁|，
则 |yn+1-y1|≤

1

4

[(

1

n

-

1

n+1

)+(

1

n-1

-

1

n

)+…+(1-

1

2

)]
因此 |yn+1-y1|≤

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．