Question

已知在（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列；
（1）求n；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析：（1）利用前三项系数成等差数列，求出n．（2）利用二项展开式的通项公式求有理项．

解答：解：（1）（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式的通项公式为Tk+1=

C

k n

(

x

)n-k(

1

2 4 x

)k=

C

k n

(

1

2

)kx

2n-3k

4

，
所以前三项的系数分别为

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，
因为前三项的系数成等差数列；
所以

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2×

1

2

C

1 n

=

C

1 n

，解得n=1或n=8，当n=1时不合题意应舍去，故n=8．（6分）
（2）当n=8时，Tk+1=

C

k 8

(

x

)8-k(

1

2 4 x

)k=

C

k 8

(

1

2

)kx

16-3k

4

，若展开式为有理式，
则

16-3k

4

∈N，所以k应是4的倍数，故k可为0、4、8，
故所有有理项为：T1=x4，T5=

35

8

x，T9=

1

256x2

．                                     （12分）

点评：本题主要考查二项展开式的通项公式以及二项式定理的应用，要求熟练掌握二项展开式的通项公式．