Question

【题目】为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费100万元成本购买了1套新设备用于扩大生产，预计该设备每年收入100万元，第一年该设备的各种消耗成本为8万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加8万元．

（1）求该设备使用x年的总利润y（万元）与使用年数x（x∈N*）的函数关系式（总利润＝总收入﹣总成本）；

（2）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）这套设备使用5年，可使年平均利润最大，最大利润为56万元

【解析】

（1）求出年的总收入及消耗等总费用，可得总利润与使用年数的函数关系；
（2）年平均利润为，然后利用基本不等式求最值．

（1）由题意知，x年总收入为100x万元，

x年消耗成本总费用为8（1+2+3+…+x）＝4x（1+x）万元，

∴总利润y＝100x﹣4x（x+1）﹣100，x∈N*，即y＝﹣4x2+96x﹣100，x∈N*；

（2）年平均利润为，∵x＞0，

∴4（x）+9656，

当且仅当x，即x＝5时取“＝”号．

∴当设备使用5年时，年平均利润最大．

答：这套设备使用5年，可使年平均利润最大，最大利润为56万元．