Question

【题目】设函数

（1）当， 恒成立，求实数的取值范围.

（2）设在上有两个极值点.

（A）求实数的取值范围；

（B）求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）（A）；（B）证明见解析；

【解析】试题分析：(1)构造函数，求导数分， ， ， 出函数的最值即可,
(2)函数 有两个极值点、,即导函数g′(x)有两个不同的实数根,对a进行分类讨论,不妨设，则,构造函数， .,利用函数的单调性证明不等式.

试题解析：

解：（1）∵，且，

∴.

令，则.

①当时， ， 在上为单调递增函数，

∴时， ，不合题意.

②当时， 时， ， 在上为单调递增函数，

∴， ，不合题意.

③当时， ， ， 在上为单调递减函数.

∴时， ，不合题意.

④当时， ， ， 在上为单调递增函数.

， ， 在上为单调递减函数.

∴，符合题意.

综上， .

（2）， .

.

令，则

由已知在上有两个不等的实根.

（A）①当时， ， 在上为单调递增函数，不合题意.

②当时， ， 在上为单调递减函数，不合题意.

③当时， ， ， ， ，

所以， ， ， ，解得.

（B）由已知， ，

∴.

不妨设，则，则 .

令， .

则，∴在上为单调递增函数，

∴

即，

∴，

∴，

∴，

由（A），

∴， ，

∴.