Question

【题目】已知函数， (为自然对数的底数).

(1)设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；

(2)若对于任意实数， 恒成立，试确定的取值范围；

(3)当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2) (3)不存在

【解析】试题分析：

(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线即可得到切点的纵坐标,对进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点到切线的距离为即可求的参数的值.

(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到,则,再利用函数的导函数研究函数在区间的最大值,即可求的a的取值范围.

(3)根据极值的定义,函数在区间有零点且在零点附近的符号不同,求导可得,设,求求导可以得到的导函数在区间恒为正数,则函数在区间上是单调递增,即可得到函数进而得到恒成立,即在区间上没有零点,进而函数没有极值.

试题解析：

（1）, .

在处的切线斜率为， 1分

∴切线的方程为，即. 3分

又切线与点距离为,所以，

解之得， 或5分

（2）∵对于任意实数恒成立，

∴若，则为任意实数时， 恒成立； 6分

若 恒成立，即，在上恒成立， 7分

设则, 8分

当时， ，则在上单调递增；

当时， ，则在上单调递减；

所以当时， 取得最大值， ， 9分

所以的取值范围为.

综上，对于任意实数恒成立的实数的取值范围为. 10分

（3）依题意, ，

所以, 2分

设,则,当,

故在上单调增函数,因此在上的最小值为，

即， 12分

又所以在上， ，

即在上不存在极值. 14分