Question

【题目】如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为，，短轴的两端点分别为，，线段，的中点分别为，，且四边形是面积为8的矩形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）； （2）或 .

【解析】

（I）通过矩形的面积和对角线长相等列方程组，结合，解得的值，从而求得椭圆方程.（II）当直线的斜率不存在时，直接得出直线的方程，代入椭圆方程求得两点的坐标，代入验证出不符合题意.当直线的斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，将坐标代入，解方程求得直线的斜率，由此求得直线的方程.

（I）在矩形中，

所以四边形是正方形，所以

又

，

∴椭圆C的方程为．

（II）由（I）可知，

1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2,

由

∴l：x=-2不满足题意．

2）当l的斜率为k时，设l的方程为，

由

则

综上所述，直线l的方程为或