Question

【题目】三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】⑴见解析⑵见解析 ⑶

【解析】

试题（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证往往需要利用平几知识，如本题就利用三角形中位线定理得（2）利用空间向量证明线面垂直，实际就是以算代证，即先求平面的一个法向量，再利用与法向量关系关系求证（3）求二面角的大小，一般利用空间向量的数量积求解，先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积求法向量的夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求值.

试题解析：（1）连接，，

在中，∵是中点，∴，

又∵平面，

∴平面.

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，，

，，.

设平面的法向量，

，

令，则，，∴，∴，

∴平面.

（3）设平面的法向量为，，

，

令，则，，

∴，

∴，

所求二面角的余弦值为.