Question

（2005•上海模拟）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
过直角坐标平面xOy中的抛物线y²?2px （p＞0）的焦点F作一条倾斜角为

π

4

的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）用p表示A、B之间的距离并写出以AB为直径的圆C方程；
（2）若圆C于y轴交于M、N两点，写出M、N的坐标，证明∠MFN的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标，又有所给的直线的倾斜角得到这条直线的斜率，由点斜式写出直线的方程，要求两点之间的距离，首先要把直线与抛物线方程联立，整理出关于x的方程，根据根和系数之间的关系，和抛物线的定义，写出结果．
（2）由（1）得：圆C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，令x=0得到圆与y轴的交点坐标，利用到角公式求出∠MFN的正切值tan∠MFN，它是一与p无关的定值，并求出这个值即可．

解答：解：（1）焦点F（

p

2

，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是 y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

⇒x2-3px+

p2

4

=0⇒xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p，
AB的中点坐标为C（

3p

2

，p），以AB为直径的圆C的半径为：2p，
∴以AB为直径的圆C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
（2）由（1）得：圆C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
令x=0得：（0-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，⇒y_M=

7 +1

2

p，y_N=

- 7 +1

2

p，
∴tan∠MFN=

tan∠MFO+tan∠OFN

1-tan∠MFO•tan∠OFN

=

7 +1 2 p p 2 +  7 -1 2 p p 2

1- 7 -1 2 p p 2 • 7 +1 2 p p 2

=-

7

5

（定值）．
∴∠MFN=π-arctan

7

5

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用，属中档题．