Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆上，，直线的斜率为（为半焦距）·

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆的切线交椭圆于两点（为坐标原点），求证：；

（3）在（2）的条件下，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由题意知 ,，解得 即可．

（2）（i）当切线与坐标轴垂直时，满足，（ii）当切线与坐标轴不垂直时，设圆的切线为y＝kx+m，得，A（x1，y1），B（x2，y2），利用，即可证明．

（3 ）当切线与坐标轴垂直时|OA||OB|＝4，当切线与坐标轴不垂直时，由（2）知，且，即可得OA||OB|的最大值．

（1）连接，由题意知 ，

设

即 解得 ,

椭圆的方程为 .

（2）（i）当切线与坐标轴垂直时,交点坐标为，满足.

(ii)当切线与坐标轴不垂直时，设切线为

由圆心到直线距离为

联立椭圆方程得 恒成立，设

满足 .

（3 ）当切线与坐标轴垂直时

当切线与坐标轴不垂直时,由（2）知

.

令

当且仅当时等号成立,

综上所述，的最大值为