Question

【题目】已知函数.

（1）证明：函数在其定义域上是单调递增函数.

（2）设，当时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先对函数求导，得到，令，再由导数方法研究单调性，求出最小值即可；

（2）先将当时，不等式恒成立，化为恒成立，令，，用导数方法研究其单调性，再记，得到单调性，进而可得出结果.

（1）证明：因为，，所以.

令，则.

当时，；当时，，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增.

故，

从而在上恒成立，

即在上单调递增.

（2）解：当时，不等式恒成立等价于当时，不等式恒成立，即当时，恒成立.

记，，则，.

因为当时，，所以在恒成立，

即在上单调递减.

因为当时，，所以在恒成立，

即在上单调递减.

记，因为，所以在上单调递减，所以.

因为在上恒成立，所以，即.

又，故的取值范围为.