Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）当时，试讨论函数的单调性；

（3）若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）直接利用导数求函数的单调区间再求其值域.(2)对m分类讨论，利用导数求函数的单调性.(3)先求得，转化为，对任意恒成立，再构造函数，求其最小值得解.

（1）当时，函数，所以所以函数单调递增，

故函数在区间上的最小值为最大值为，所以区间上的值域为

（2）

令得

当时，，由得或，由得，所以在区间和上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.

当时，，所以函数单调递增.

当时，，由得或，由得，所以在区间和上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.

（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，故当时，，因为对任意，存在，使得不等式成立，所以，得，对任意恒成立

记，则

当时，若则从而，所以函数在上单调递增，所以当时，符合题意

若，则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，从而当时，，说明当时，不恒成立，不符合题意

若，则在上单调递减，所以当时，，不符和题意。综上，实数的取值范围是.