Question

求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程．

Answer 1

分析：根据题意，设圆心为C（a，3a），可得圆的半径r=|3a|．再算出点C到直线x-y=0的距离为

2

|a|，根据垂径定理建立关于a的等式，解出a值即可得到所求圆的方程．

解答：解：由圆心在直线3x-y=0上，设圆心为C（a，3a），
∵圆C与x轴相切，∴点C到x轴的距离等于半径，可得r=|3a|，
由此得到圆的方程为（x-a）²+（y-3）²=9a²，
点C到直线x-y=0的距离为d=

|a-3a|

2

=

2

|a|，
∵圆C被直线x-y=0截得的弦长为2，
∴根据垂径定理，得2

r2-d2

=2，即2

9a2-2a2

=2，解之得a=±

7

7

．
由此可得圆心为C（

7

7

，

3 7

7

）或C（-

7

7

，-

3 7

7

），半径r=

3 7

7

因此，所求的圆的方程是（x-

7

7

）²+（y-

3 7

7

）²=

9

7

或（x+1）²+（y+

3 7

7

）²=

9

7

．

点评：本题给出圆满足的条件，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．