Question

【题目】某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把500人分成两组，甲组的任务是完成一段4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的2000米的硬土地带，据测算，软、硬土地每米的工程量是30工（工为计量单位）和40工.

（1）若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期；

（2）如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）硬土，软土的人数分别分配为275，225时，全队工期最短，为437．

【解析】

（1）平均分配两组的人数各为250人，两组完工的时间分别为：，．可得此时全队的筑路工期．

（2）假设分配两组的人数分别为x，500﹣x．可得两组完工的时间分别为：，．可得两组完工的时间和40000.0＜x＜500．令f（x），0＜x＜500．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

（1）平均分配两组的人数各为250人，两组完工的时间分别为：480，320．

∴此时全队的筑路工期为480．

∴硬土480，软土320，全队工期480；

（2）假设分配两组的人数分别为x，500﹣x．

则：两组完工的时间分别为：，．

∴两组完工的时间和40000.0＜x＜500．

令f（x），0＜x＜500．

∴f′（x）0，

解得x＝1500﹣500275．

∴全队的筑路工期为437．

另解：y，0＜x＜500．

则y（x+500﹣x）（）（5）（5+2），

当且仅当x＝1500﹣500275时取等号．

∴硬土，软土的人数分别分配为275，225时，全队工期最短，为437．