Question

教材上一例问题如下：
一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y与x之间的回归方程．

温度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

某同学利用智能手机上的Mathstudio软件研究它时（如图所示），分别采用四种模型，所得结果如下：

	①	②	③	④
模型	y=ax+b	y=aebx	y=ax2+c	y=ax3+bx2+cx+d
计算结果	a=19.87 b=-463.731 v=0.864	a=0.015 b=0.284 v=0.993	a=0.367 c=-202.171 v=0.896	a=0.271 b=-20.171 c=801.638 v=0.995

根据上表，易知当选择序号为______的模型是，拟合效果较好．

Answer 1

根据收集的数据，作散点图，如图．
从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，
因此两个变量不呈线性相关关系，
所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，
根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=ae^bx的附近，其中a，b为待定的参数．
我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，
令z=lny，则变换后样本点分布在直线z=bx+c（c=lna）的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了．
变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
由上表中的数据可得到变换的样本数据表，如下表：

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

可以求得线性回归直线方程

∧

z

=0.272x-3.843．
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程=e^0.272x-3.843．另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃，c₄为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，即令t=x²，然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的非线性回归方程．
下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图，如图：

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

从图中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=c₃x²+c₄来拟合x与y之间的关系，因此利用y=ae^bx来拟合效果较好．
故答案为：②．