Question

【题目】已知椭圆.

（Ⅰ）若的一个焦点为，且点在上，求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知上有两个动点，为坐标原点，且，求线段的最小值（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ)由椭圆焦点为,可得,再依据点在椭圆上,列出方程组解出,即可得椭圆方程;

(Ⅱ)先求出直线斜率不存在时的长度,然后当直线斜率存在时,设直线方程为,将之与椭圆方程联立,得到韦达定理,结合可得,再利用弦长公式求出,最后对比两种情况下的长度,进而求出最小值.

(Ⅰ)因为椭圆焦点为,.

又点在上,则有,

解得.

椭圆方程为.

(Ⅱ)①当直线斜率不存在时,根据对称性可知直线,直线的方程为,

将之代入中,可得,

所以.

②当直线斜率存在时,设直线方程为.

联立

得,

由,可得,

又,

,

,

.

综上所述,的最小值为.