Question

【题目】已知函数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当﹣1＜a＜0时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0随着a的增大而增大．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，对分成等四种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）时，由（1）得到的单调性，结合零点存在性定理判断出存在唯一零点.令，由此对分离常数，利用导数证得随增大而增大.

（1）f（x）的定义域为（0，+∞）；

；

①当a＝0时，，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②当a＞0时，，而；

则f（x）在上单调递减，在上单调递增；

③当﹣1≤a＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；

④当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；

综上，当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；

当﹣1≤a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）得当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；

∴f（x）至多有一个零点；

又﹣1＜a＜0；

∴，f（1）＝a+1＞0，；

令g（x）＝x﹣1﹣lnx，则；

∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，当且仅当x＝1时取等号；

∴；

∴f（x）存在唯一得零点；

由f（x0）＝0，得，即；

∵x0∈（1，+∞），；

∴，即a是x0的函数；

设，x∈（1，+∞），则；

∴h（x）为（1，+∞）上的增函数；

∴随增大而增大，反之亦成立.

∴x0随着a的增大而增大．