Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．

因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD．

因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

所以EA∥CD，且EA＝CD．

所以FM∥EA，且FM＝EA．

所以四边形AEFM为平行四边形．

所以EF∥AM． ……………………… 5分

又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD． ………7分

方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．

因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，

所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分

又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD． ……………7分

方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．

在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．

所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．

又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ∥平面PAD． ………………2分

因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．

又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分

因为EF平面EQF，所以EF∥平面PAD． ……………………………… 7分

（2）设AC，DE相交于G．

在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点.所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．

由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． ……………………… 10分

因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． ………………………… 14分

【解析】略