Question

【题目】已知椭圆E：（）的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为2.直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点（P，Q异于，）

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求的面积最大值；

（3）设直线与直线的斜率分别为，，求证：为常数，并求出这个常数.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析；

【解析】

（1）由离心率得，由三角形面积得，结合可求得得椭圆方程；

（2）设直线l：交椭圆于，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，代入，然后可换元：设后用函数的单调性求得最值；

（3）计算，注意由（2）还可得，即，代入可得常数．

解：（1）设椭圆的焦距为（），因为，

所以，，，

所以椭圆的标准方程为

（2）设直线l：交椭圆于，，

联立，化简得，

由根与系数关系得

所以，

令，，故，

当，单调递增，故时，最大值为；

（3）证：因为，

由第（2）问知，即

将其代入上式

得为常数，即证