Question

【题目】已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合.

（1）求双曲线和抛物线的标准方程；

（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由渐近线方程得，再由点在双曲线上，代入后得的一个方程，联立后可解得，得双曲线方程，求出双曲线的右焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线标准方程；

（2）由直线方程与抛物线方程联立可解得交点坐标，然后由焦点弦长公式求得弦长．

解：（1）因为双曲线（，）的渐近线方程为，

所以①，又点在双曲线上，所以②

由①②解得，，

故双曲线标准方程为；

设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，

即，所以抛物线的标准方程为.

（2）设直线交抛物线于，，

联立得即，

故.

由抛物线定义知，，

所以