Question

(本小题满分12分)  已知函数f(x)＝ (1)作出函数的图像简图，并指出函数的单调区间； （2）若f(2－a²)>f(a)，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

解析：(1) f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数；（2）－2<a<1.

【解析】本试题主要是考查了分段函数的作图，以及函数的单调性和不等式的求解综合运用。

（1）利用作出两端二次函数的图像得到第一问。

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，求解得到参数a的范围。

解析：(1) 略          ……………………………………………4分

由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，……………………7分

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，即a²＋a－2<0，…………………………………10分

解得－2<a<1.…………………………………………12分

 

20. 【题文】 (本小题满分13分)

 (1)证明：函数在上是减函数，在[，+∞)上是增函数；

【答案】解： （1）证明：见解析；

（2）当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.

【解析】本试题主要是考查了二次函数的单调性以及函数与方程的综合运用。

（1）根据但单调性的定义法，设变量，作差，变形定号，下结论。

（2）在第一问的基础上，结合单调性，得到函数的最值，然后分析得到参数的范围。

解： （1）证明：设，且

则==

==．………4分

（ⅰ）若，且，，所以，

即．所以函数在区间[，+∞)上单调递增．………6分

（ⅱ）若，则且，，

所以，即．所以函数在区间[，+∞)上单调递减．………………………………8分

（2）由（1）知函数在区间（1，)上单调递减，在区间[，2]上单调递增

所以的最小值=，的最大值=……………………10分

故当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.………………………………………13分