Question

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（Ⅰ）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（Ⅱ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x-y|≤5的事件概率；
（Ⅲ）从最后三组中任取3名学生参加学校篮球队，用ξ表示从第八组中取到的人数，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析：（I）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率=

频数

数据总和

，计算可得答案．由等差数列可算出第六组、第七组人数，再算出小矩形的高度即可补图；
（II）本小题是属于古典概型的问题，算出事件|x-y|≤5所包含的基本事件个数m，和基本事件的总数n，那么事件的概率P（A）=

m

n

．
（III）列出ξ的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出ξ的数学期望．

解答：解：（I）由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9（人）…（2分）
由直方图得第八组频率为：0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2（人）  …（2分）
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），
∴m=4…（3分）
所以第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别等于0.08，0.06…（4分）
∴

频率

组距

分别等于0.016，0.012，（画图如上）…（5分）
（II）由（I）知身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195）的人数为2人，设为A，B．若x，y∈[180，185）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190，195）时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180，185）和[190，195）内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，
∴基本事件的总数为6+8+1=15种…（6分）
事件|x-y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种，…（7分），
∴P(|x-y|≤5)=

7

15

…（8分）
（III）ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P（ξ）	5 12	1 2	1 12

…（11分） 
 Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

…（12分）

点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=

频数

数据总和

，同时还考查了古典概型的计算．