Question

设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
（1）求的值及的表达式；
（2）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由

Answer 1

(1) (2) 存在正整数使成立.

解析试题分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入综合求出
f（n）的表达式；（2）先利用b_n=2^f（n）求出数列{b_n}的通项公式，进而求出S_n；把S_n代入，化简得化简得，（﹡），再分t=1以及t＞1求出其对应的n即可说明结论．
⑴
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
∴
⑵
将代入，化简得，（﹡）
若时，显然
若时（﹡）式化简为不可能成立
综上，存在正整数使成立.
考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．