Question

【题目】已知为常数，函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若有两个极值点，（）：

①求实数的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由函数的导数的符号可知函数在的单调性，进而求得的最小值；（2）①由有两个极值点，（）可知有两个根，即得，再令，求的值域即可；②要证，即证，即证，构造函数，利用导数法求其最大值小于零即可．

试题解析：

（1），定义域为，，当时，，当时，，所以．

（2）①，由于有两个极值点，可得有两个不同解，即有两个不同解，令，，，当时，，当时，，所以，且，由数形结合可得，且．

②要证，即证，，即证，即证，构造函数，注意，，令，注意，，所以，可得，所以单调递增，可得，进而．