Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，， ，，为的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线线角与向量夹角关系得线线角余弦值（2）利用空间向量求线面角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系列等量关系，解出的值．

试题解析：（1）

因为平面，且平面，

所以，，

又因为，所以两两互相垂直．

分别以为轴建立空间直角坐标系，

则由，可得

，，，，，

又因为为的中点，所以．

所以，，…………2分

所以

，

所以异面直线，所成角的余弦值为．…………………………5分

（2）因为，所以，则，

，，

设平面的法向量为，

则 即 令，解得，，

所以是平面的一个法向量．……………………………7分

因为直线与平面所成角的正弦值为，

所以，

解得，

所以的值为．……………………………………………………………10分